Black-Scholes

Poll without page-refresh

Article on other languages:

	del.icio.us
	Digg
	Furl
	Reddit
	Rojo
	Add to OnlyWire

Thuật ngữ Black–Scholes được dùng để chỉ tới 3 khái niệm liên quan lẫn nhau:

Mô hình Black–Scholes là một mô hình toán học cho thị trường với 1 cổ phiếu, mà giá cổ phiếu đó là một quá trình ngẫu nhiên.
Phương trình vi phân Black–Scholes là một phương trình đạo hàm riêng mà giá của cổ phiếu (trong mô hình đó) phải thỏa mãn.
Công thức Black–Scholes là kết quả giải của phương trình vi phân Black-Scholes cho put và call options theo kiểu châu Âu.

Mục lục

1 Mô hình
2 Tham khảo
- 2.1 Tham khảo chính
- 2.2 Các khía cạnh lịch sử và xã hội
3 Liên kết ngoài

Mô hình

Những giả thiết quan trong của mô hình Black–Scholes là:

Giá trị của cổ phiếu S_t theo một chuyển động Brown với hằng số trượt (drift constant) $μ$ và độ biến động $σ$ , và sự thay đổi của giá cả là theo phân bố log-normal:

$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \,$

Có thể bán non (short selling) cổ phiếu đó.
Không có cơ hội kiếm tiền chênh lệch (arbitrage free).
Việc trao đổi cổ phiếu là liên tục.
Không có giá điều hành và các loại thuế.
Tất cả các cố phiếu có thể chia nhỏ ra được (e.g. có thể mua một phần nhỏ bất kì của cổ phiếu).
Có thể mượn và cho vay tiền với một lãi suất không rủi ro cố định.
Cổ phiếu không trả một dividend (see below for extensions to handle dividend payments).

Những giả thiết trên đã dẫn tới công thức sau cho giá C của một European call option với giá lúc thi hành là K trên một cổ phiếu đang được trao đổi ở giá S, i.e., nghĩa là quyền được mua một cổ phần của một cổ phiếu ở giá K sau T năm. Lãi suất cố định là r, và giá trị biến động là $σ$ .

$C(S,T) = S\Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2) \,$

với

$d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$

$d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} = d_1 - \sigma\sqrt{T}.$

Ở đây $Φ$ là hàm phân bố tích lũy của phân bố chuẩn.

Interpretation: $Φ(d 1)$ and $Φ(d 2)$ are the probabilities of exercise under the equivalent exponential martingale probability measure (numéraire = stock) and the equivalent martingale probability measure (numéraire = risk free asset), respectively. The equivalent martingale probability measure is also called the risk neutral probability measure. Note that both of these are "probabilities" in a measure theoretic sense, and neither of these is the true probability of exercise under the real probability measure.

The price of a put option may be computed from this by put-call parity and simplifies to

$P(S,T) = Ke^{-rT}\Phi(-d_2) - S\Phi(-d_1). \,$

The Greeks under the Black–Scholes model are calculated below:

	What	Calls	Puts
delta	$\frac{\partial C}{\partial S}$	$\Phi(d_1) \,$	$- \Phi( - d_1) = \Phi(d_1)-1\,$
gamma	$\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}$	$\frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}} \,$
vega	$\frac{\partial C}{\partial \sigma}$	$S \varphi(d_1) \sqrt{T} \,$
theta	$-\frac{\partial C}{\partial t}$	$- \frac{S \varphi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T}} - rKe^{-rT}\Phi(d_2) \,$	$- \frac{S \varphi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T}} + rKe^{-rT}\Phi(-d_2) \,$
rho	$\frac{\partial C}{\partial r}$	$KTe^{-rT}\Phi(d_2)\,$	$-KTe^{-rT}\Phi(-d_2)\,$

Here, $\varphi$ is the standard normal probability density function. Note that the gamma and vega formulas are the same for calls and puts. This can be seen directly from put-call parity.

In practice, some sensitivities are usually quoted in scaled-down terms, to match the scale of likely changes in the parameters. For example, rho is often reported divided by 10.000 (1bp rate change), vega by 100 (1 vol point change), and theta by 365 or 252 (1 day decay based on either calendar days or trading days per year).

Tham khảo

Tham khảo chính

Black, Fischer; Myron Scholes (1973). “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”. Journal of Political Economy 81 (3): 637–654. DOI:10.1086/260062. [1] (Black and Scholes' original paper.)
Merton, Robert C. (1973). “Theory of Rational Option Pricing”. Bell Journal of Economics and Management Science 4 (1): 141–183. DOI:10.2307/3003143. [2]

Các khía cạnh lịch sử và xã hội

Bernstein, Peter. Capital Ideas: The Improbable Origins of Modern Wall Street, The Free Press. ISBN 0-02-903012-9.
MacKenzie, Donald (2003). “An Equation and its Worlds: Bricolage, Exemplars, Disunity and Performativity in Financial Economics”. Social Studies of Science 33 (6): 831–868. DOI:10.1177/0306312703336002. [3]
MacKenzie, Donald; Yuval Millo (2003). “Constructing a Market, Performing Theory: The Historical Sociology of a Financial Derivatives Exchange”. American Journal of Sociology 109 (1): 107–145. DOI:10.1086/374404. [4]
MacKenzie, Donald. An Engine, not a Camera: How Financial Models Shape Markets, MIT Press. ISBN 0-262-13460-8.

Liên kết ngoài

Tiêu bản:Linkfarm

Historical

The Sveriges Riksbank (Bank of Sweden) Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel for 1997
Trillion Dollar Bet—Companion Web site to a Nova episode originally broadcast on February 8, 2000. "The film tells the fascinating story of the invention of the Black-Scholes Formula, a mathematical Holy Grail that forever altered the world of finance and earned its creators the 1997 Nobel Prize in Economics."
BBC Horizon A TV-programme on the so-called Midas formula and the bankruptcy of Long-Term Capital Management (LTCM)
BBC Horizon - The Midas Formula (1999). Documentary available at Stage6.